AI 속 숨겨진 수학 원리, 그 비밀을 파헤치자

AI와 머신러닝의 핵심에는 수학이 있다. 이 글에서는 AI의 작동 원리를 가능하게 하는 선형대수, 확률과 통계, 미적분, 선형 회귀, 차원 축소 등 수학적 원리를 분야별로 분석하고, 자연어 처리, 이미지 분석, 최적화 알고리즘 등에 어떻게 적용되는지를 실용적인 예시와 함께 소개한다. AI를 제대로 이해하려면 수학의 기초부터 다시 살펴봐야 하는 이유를 이 글에서 확인할 수 있다.

1. 선형대수와 데이터 표현

AI와 머신러닝에서 선형대수는 데이터의 표현과 처리를 위해 필수적으로 사용된다. 데이터는 보통 행렬이나 벡터로 표현되며, 이러한 수학적 구조는 모델이 입력 데이터를 해석하고 처리하는 데 유용하다. 예를 들어, 이미지 데이터는 각 픽셀의 값을 행렬 형태로 나타내며, 자연어 처리에서는 단어 임베딩을 통해 단어를 벡터로 변환한다.

행렬의 곱셈과 전치는 신경망의 가중치를 업데이트하는 데 활용된다. 선형 변환은 데이터의 특징을 추출하는 데 유용하며, 이를 통해 모델이 학습을 수행한다. 데이터의 차원을 줄이거나 특징을 추출하기 위해 고유값 분해(Eigenvalue Decomposition)나 특이값 분해(Singular Value Decomposition)와 같은 기법이 활용된다.

자연어 처리에서는 단어를 수치화해 벡터 형태로 변환하는 과정이 중요하다. 이때 단어 임베딩 기법이 활용되며, 대표적인 방법으로는 Word2Vec, GloVe 등이 있다. 이 기법들은 단어 간의 의미적 유사성을 벡터 공간에서 보존하도록 학습한다. 또한, 컴퓨터 비전에서는 이미지의 각 요소를 행렬 형태로 변환하고, CNN(합성곱 신경망) 등의 구조를 활용해 특징을 추출한다.

2. 확률과 통계의 활용

머신러닝 모델은 확률과 통계를 활용해 데이터의 불확실성을 이해하고 예측한다. 확률적 모델은 데이터를 바탕으로 특정 사건이 발생할 확률을 계산하며, 다양한 실생활 문제를 해결하는 데 유용하다.

베이즈 정리는 사전 확률과 사후 확률의 관계를 설명하는 중요한 정리다. 예를 들어, 의료 진단 시스템은 환자의 증상 데이터를 바탕으로 특정 질병일 확률을 추정하는 데 베이즈 정리를 활용한다. 이러한 방식은 자연어 처리, 이미지 인식, 추천 시스템 등 다양한 분야에서도 적용된다.

정규 분포, 베르누이 분포, 포아송 분포 등 다양한 확률 분포가 데이터 분석에 사용된다. 이러한 분포는 데이터의 패턴을 수학적으로 모델링하는 데 활용되며, 이상 탐지나 예측 모델 구축에도 사용된다. 머신러닝에서는 손실 함수나 성능 지표를 계산할 때도 통계적 방법이 적용된다.

또한, 통계적 추론 기법을 활용하면 데이터의 일부만으로 전체를 추정할 수 있다. 이와 같은 기법은 샘플링 이론, 점추정, 구간 추정 등의 형태로 나타나며, 머신러닝 모델의 성능을 평가하고 일반화 능력을 측정하는 데도 유용하다.

3. 미적분과 최적화 기법

AI 모델 학습 과정에서 미적분은 필수적인 도구로 사용된다. 경사하강법(Gradient Descent)과 같은 최적화 기법은 손실 함수를 최소화하는 방향으로 매개변수를 조정하는 데 활용된다.

경사하강법은 손실 함수의 기울기를 계산해 최소값을 찾는 방법이다. 손실 함수는 모델의 예측값과 실제값 간의 차이를 나타내며, 이를 줄이기 위해 미분을 활용해 기울기를 계산한다. 이러한 과정은 AI 모델이 데이터를 통해 학습하고 점차 더 나은 성능을 내도록 하는 핵심 요소다.

뉴럴 네트워크에서는 역전파 알고리즘(Backpropagation)을 사용해 기울기를 전파하며 학습을 진행한다. 이 과정에서 다변수 함수의 편미분이 사용되며, 각 가중치에 대한 손실 함수의 기울기를 구해 가중치를 업데이트한다. 이는 모델이 데이터의 특징을 보다 효과적으로 학습하도록 돕는다.

또한, 학습 속도나 안정성을 향상시키기 위해 다양한 변형된 경사하강법이 사용된다. 대표적으로 확률적 경사하강법(SGD), 모멘텀(Momentum), Adam 등이 있으며, 각각의 방식은 수렴 속도나 안정성 면에서 차별점을 가진다.

4. 선형 회귀와 머신러닝 모델

선형 회귀는 머신러닝에서 가장 기본적인 예측 모델 중 하나로, 독립 변수와 종속 변수 간의 관계를 수학적으로 나타낸다. 이 모델은 데이터의 경향성을 선형 함수로 근사해 예측을 수행하는 데 활용된다.

선형 회귀 모델은 주어진 데이터에서 최적의 직선을 찾기 위해 최소자승법(Least Squares Method)을 활용한다. 이 방법은 데이터의 실제값과 예측값 간의 차이인 잔차의 제곱합을 최소화하는 방식으로 작동한다. 이를 통해 데이터의 패턴을 명확히 파악하고 예측의 정확성을 높일 수 있다.

로지스틱 회귀는 분류 문제에서 활용되며, 데이터가 특정 범주에 속할 확률을 예측한다. 시그모이드 함수(Sigmoid Function)를 사용해 출력 값을 0과 1 사이의 확률로 변환하며, 이진 분류 문제에서 자주 사용된다. 이 외에도 다중 클래스 분류에서는 소프트맥스(Softmax) 함수를 활용해 여러 클래스에 대한 확률을 계산한다.

또한, 선형 회귀 모델은 과적합을 방지하기 위해 정규화 기법인 릿지 회귀(Ridge Regression)나 라쏘 회귀(Lasso Regression)를 활용하기도 한다. 이러한 기법은 모델의 복잡도를 줄이고, 일반화 성능을 높이는 데 유용하다.

5. 벡터 공간과 차원 축소

고차원 데이터를 저차원으로 변환하는 차원 축소 기법은 머신러닝에서 자주 활용된다. 데이터가 수백, 수천 개의 특성을 가질 경우, 이를 그대로 분석하기에는 계산 비용이 크고 모델 성능이 저하될 수 있다.

PCA(주성분 분석)는 데이터의 분산을 최대화하는 방향으로 새로운 축을 찾고, 데이터의 중요한 정보를 보존하면서 차원을 줄인다. 이를 통해 데이터 시각화, 노이즈 제거, 연산 효율성 개선 등에 기여한다. PCA 외에도 t-SNE나 UMAP과 같은 비선형 차원 축소 기법이 데이터의 복잡한 구조를 효과적으로 시각화하는 데 활용된다.

벡터 공간 모델은 특히 자연어 처리에서 유용하다. 텍스트 데이터를 수치화해 유사도를 계산하거나 의미를 추출하는 데 사용된다. 이를 통해 모델의 학습 성능을 높이고, 데이터의 의미를 보다 효과적으로 추출할 수 있다. 예를 들어, 코사인 유사도를 활용해 문장 간의 유사도를 계산하거나, 클러스터링 기법을 적용해 비슷한 의미의 문장을 그룹화할 수 있다.

 

나의 생각 한 줄

AI의 발전은 수학적 원리와 깊이 연관되어 있으며, 선형대수, 확률과 통계, 미적분, 최적화 기법 등이 그 핵심을 이루고 있다. 이러한 수학적 기초를 이해하면 AI의 작동 원리를 보다 명확하게 파악할 수 있으며, 더 나은 모델을 설계하고 적용하는 데 도움이 된다. 앞으로 AI 기술이 더욱 발전함에 따라 수학의 역할은 더욱 중요해질 것이다.