수학으로 보는 인공지능 – 선형대수와 경사하강법의 세계

인공지능 알고리즘은 단순한 코드 그 이상입니다. 그 기초에는 수학, 특히 선형대수학이 중심적인 역할을 합니다. 행렬 연산과 벡터 공간 개념은 이미지 분석, 자연어 처리, 추천 시스템 등 다양한 AI 기술에 핵심적으로 작용하며, 경사하강법은 이러한 모델을 학습시키는 데 필수적인 최적화 도구입니다. 이 글에서는 머신러닝의 내부를 수학적으로 해부하며, 행렬 계산이 어떻게 뉴런을 구성하고, 기울기(gradient)가 어떻게 방향을 잡아 모델을 개선하는지에 대해 깊이 있게 다룹니다. 수학적 기반을 바탕으로 인공지능을 이해하면, AI의 성능 향상과 오류 분석에 있어 더욱 명확한 통찰을 얻을 수 있습니다.

수학으로 보는 인공지능 – 선형대수와 경사하강법의 세계

1. 인공지능과 수학의 관계 – 선형대수의 중요성

인공지능(AI)은 데이터를 이해하고 처리하는 기술이지만, 그 내부는 놀랄 만큼 수학으로 가득 차 있습니다. 그 중에서도 "선형대수학(Linear Algebra)"은 AI의 뼈대와도 같은 역할을 하며, 딥러닝(Deep Learning), 추천 시스템, 컴퓨터 비전 등 다양한 응용 분야에서 핵심 개념으로 작동합니다.

왜 하필 선형대수일까요? 그 이유는 대부분의 데이터가 수치화되어 있고, 이를 수학적으로 조작하기 위해서는 "벡터(Vector)"와 "행렬(Matrix)"이라는 표현 방식이 필요하기 때문입니다. 인공지능 모델이 학습하는 과정에서 이루어지는 수많은 연산은 대부분 행렬 곱셈, 전치(transpose), 역행렬(inverse) 등의 연산을 기반으로 이루어집니다.

딥러닝 신경망에서 뉴런 간 연결은 가중치 행렬로 표현되고, 입력과 출력은 벡터로 나타납니다. 결국 우리는 수많은 수학적 구조 속에서 AI를 훈련시키고 있는 셈입니다. 따라서 선형대수는 AI를 깊이 이해하기 위한 수학적 언어라고 할 수 있습니다.

---

2. 행렬과 벡터 – AI 데이터를 구성하는 핵심 구조

모든 인공지능 모델은 데이터를 기반으로 작동합니다. 이 데이터는 컴퓨터에게 수치로 전달되어야 하며, 그 과정에서 가장 유용하게 쓰이는 도구가 바로 행렬과 벡터입니다.

예를 들어, 흑백 이미지 한 장은 각 픽셀을 밝기의 숫자로 표현하면 하나의 2차원 행렬로 나타낼 수 있습니다. 컬러 이미지의 경우에는 RGB값을 각각의 행렬로 표현해 3개의 행렬로 구성됩니다. 이러한 수치 구조는 딥러닝 모델에 입력되기 좋은 형태입니다.

또한 텍스트 데이터는 자연어 처리(NLP)에서 단어를 수치화한 워드 임베딩(word embedding) 벡터로 변환됩니다. 단어 하나하나가 300차원 혹은 그 이상의 벡터로 변환되어 문장의 의미까지 수학적으로 표현할 수 있게 되는 것이죠.

이러한 고차원 데이터는 수학적으로 벡터 공간에 존재하며, 그 안에서 유사도(코사인 유사도 등), 거리(Euclidean distance) 등의 연산을 통해 기계는 의미를 비교하고 추론합니다. 즉, 행렬과 벡터는 단순한 숫자 집합이 아니라 AI의 사고 공간이라 할 수 있습니다.

---

수학으로 보는 인공지능 – 선형대수와 경사하강법의 세계

3. 경사하강법의 수학적 원리 – 기울기와 최적화

머신러닝 모델이 학습을 한다는 것은 결국 어떤 "오차(Error)"를 최소화하는 과정을 반복하는 것입니다. 이때 가장 대표적으로 사용되는 방법이 바로 "경사하강법(Gradient Descent)"입니다.

경사하강법은 수학적으로 아주 단순한 개념에서 출발합니다. 특정 함수(모델의 손실함수, loss function)가 최소값을 갖는 지점을 찾기 위해, 해당 지점으로 점점 가까이 이동하는 방법입니다. 이는 마치 산 위에 서서 가장 낮은 골짜기를 향해 내려가는 과정과 비슷합니다.

수학적으로는 함수의 기울기(Gradient), 즉 미분 값을 계산하여 현재 위치에서 손실이 감소하는 방향으로 한 걸음씩 이동합니다. 이때 이동의 폭을 조절하는 것이 "학습률(Learning Rate)"이고, 너무 크면 발산하고 너무 작으면 수렴 속도가 느립니다.

가장 간단한 형태는 다음과 같은 공식으로 표현됩니다.

w = w - α * ∇L(w)

여기서

• w는 가중치 벡터
• α는 학습률
• ∇L(w)는 손실 함수 L의 w에 대한 그래디언트입니다.

이러한 수학적 원리를 통해 AI 모델은 점점 더 정확한 예측을 하게 됩니다. "경사하강법은 AI가 스스로 학습하게 만드는 수학의 정수(精髓)"라 할 수 있습니다.

---

4. 머신러닝 알고리즘과 선형대수의 실제 적용

이제 위에서 살펴본 수학 개념들이 실제 머신러닝 알고리즘에서 어떻게 작동하는지를 알아보겠습니다. 가장 대표적인 예는 "선형 회귀(Linear Regression)"입니다. 선형 회귀는 데이터와 가장 잘 맞는 직선을 찾는 문제인데, 이를 위해 손실 함수(예: 평균 제곱 오차, MSE)를 최소화해야 합니다. 이때 사용하는 것이 경사하강법이며, 그 계산은 선형대수학 기반의 행렬 연산으로 이뤄집니다.

또한 딥러닝에서는 합성곱 신경망(CNN), 순환 신경망(RNN) 등 다양한 구조들이 존재하는데, 이들 역시 기본적으로 벡터와 행렬을 입력으로 받아, 가중치 행렬을 통해 출력을 산출하는 과정을 반복합니다. 각 층(layer)의 계산도 선형대수의 연속입니다.

특히 역전파(Backpropagation) 과정에서는 오차를 각 층에 나눠 전파하는데, 여기서도 연쇄법칙(chain rule)과 함께 야코비안 행렬(Jacobian matrix), 그레디언트 벡터 등이 사용됩니다. 이처럼 인공지능의 모든 연산 흐름 속에는 선형대수와 미분이라는 수학 도구들이 정교하게 녹아 있습니다.

---

 5. 수학적 직관으로 바라본 AI의 미래와 한계

선형대수와 경사하강법은 현재의 인공지능 발전을 이끈 핵심 도구입니다. 하지만 수학은 단지 현재를 설명하는 도구가 아니라, 미래를 예측하고 새로운 패러다임을 만드는 열쇠이기도 합니다.

예를 들어, 최근 주목받는 해석 가능한 AI(Explainable AI) 역시 수학적 모델링 없이는 불가능합니다. 모델이 어떤 기준으로 판단을 내렸는지를 분석하려면 가중치의 의미, 입력 변수 간 상관관계, 기울기의 민감도 등을 수학적으로 해석할 수 있어야 합니다.

또한 윤리적인 AI, 즉 사람 중심의 판단을 내리는 인공지능도 수학적으로 설계되어야 합니다. 단지 데이터를 학습하는 것이 아니라, 인간의 가치 기준을 수학적으로 반영하려는 시도가 활발히 이루어지고 있습니다.

미래 AI의 방향은 '더 복잡한 신경망'이 아니라, 더 똑똑한 수학 모델에 달려 있습니다. 수학을 통해 AI를 바라보는 관점은, 단순한 기술자가 아닌 설계자와 해석자의 눈을 갖게 해줍니다.